Conceptos y cuestiones sobre infinitos

Infinito. Una palabra difícil, compleja, incluso polémica. Ha sido motivo de debate entre científicos y filósofos durante siglos, y, aunque matemáticamente tiene su sitio en el mundo de la lógica, la mente escapa a su concepto por sí mismo. ¿Cómo entender el infinito con un instrumento finito como es la mente?

“Threshold”, el capítulo 31 de la serie “Star Trek: Voyager” nos hablaba de infinitos: el hecho de viajar a Warp 10, que, según la escala logarítmica de la serie, correspondía precisamente a una velocidad infinita. Algo parecido a lo que ocurre con la velocidad de la luz, C, que requiere de energía infinita para desplazar un objeto cuya masa a esa velocidad sería también infinita. Como puede verse, nos topamos con el infinito a menudo, en la ciencia ficción, pero también en la física real. Y de eso vamos a hablar ahora: de infinitos.

El infinito puede sonar muy romántico. Pero no está al alcance de todos. Hoy quiero hablar del infinito en su concepto más amplio. Por ejemplo, ¿qué hay más allá del infinito? Esta pregunta carece de sentido, porque no puede haber algo más allá de algo que es ilimitado. Parafraseando a Albert Einstein: «El universo es finito pero ilimitado». Es decir, no tiene fin. Es decir, es infinito. Albert, tendrías que haber vivido cien años más; quizás nos habrías traído alguna sorpresa nueva sobre tu comentario.

Lo que Albert Einstein quiso decir con su famosa frase es que la geometría del universo es tal que tiene unos límites, pero no se pueden alcanzar nunca. Es, por lo tanto, algo parecido a un ser bidimensional que recorriese una esfera por su superficie, y tras mucho caminar, llegaría al punto de partida, dando la vuelta a la esfera. Finita, pero ilimitada.

Operaciones con infinitos.

Cuando se introduce el concepto de infinito empiezan a surgir problemas y paradojas que demuestran que este concepto es mucho más complejo de lo que parece. Por ejemplo, tenemos dos números: el número 10, y el número 10 elevado a 10000 elevado a 10000. Este segundo número es enorme. Un diez elevado a diez mil ceros que está elevado a diez mil ceros. Mejor no lo escribo aquí porque necesitaría ampliar el disco duro, o mejor, todos los discos duros del universo, y me faltaría sitio.

El otro número, como digo, es 10. ¿Cuál de los dos números está más cerca del infinito? Normalmente la respuesta es que se creerá que el mayor. Pues no; ambos números están a la misma distancia del infinito. ¿Por qué? Porque cualquier cantidad finita se encuentra a una distancia del infinito igual a cualquier otra cantidad finita, ya que el infinito no tiene fin, y por lo tanto no se puede cuantificar el número más cercano a ese infinito.

¿Qué pasa si sumamos infinito a infinito? El resultado es infinito claro. Pero, ¿y si restamos infinito de infinito? ¿Da cero? Pues no. Porque una resta infinita de un valor infinito siempre termina con infinitos valores restados. El resultado de restar infinito a infinito es infinito. Puede parecer algo contrario al sentido común. Lo cual deja claro que el sentido común tiene muy poco de sentido, y menos de común.

Imagine que invita a su pareja a cenar. Es una velada romántica maravillosa. Cuando llega el camarero, le dice que la factura de esa cena es infinito. ¿Pero qué han cenado? En todo caso, no me imagino un sueldo infinito, así que usted saca una cifra de dinero enorme. Digamos que 1000 millones de euros. Usted paga. El camarero sonríe, y mueve graciosamente el platito para que siga poniendo dinero. Pone otros mil millones de euros. El camarero vuelve a sonreír. ¿Cuándo se sentirá satisfecho el camarero?

El camarero nunca se sentirá satisfecho. Usted puede poner tanto dinero en el platito como quiera. Siempre seguirá debiendo infinito dinero.  Fíjese bien: poner dinero en el platito del camarero no disminuye la deuda. No importa si se pasa la vida pagándole al camarero esa desafortunada cena. Por mucho que usted le pague 1000 o 1000000 millones de euros cada vez, siempre seguirá debiendo la misma cifra a ese maldito camarero: infinito.

No es una cifra; es un concepto en matemáticas y física.

Ese es el problema con el infinito: no se trata de una cifra. Ni de una magnitud como tal. Se trata de un concepto abstracto, matemáticamente válido, pero físicamente imposible de materializar. De hecho, se entiende que una teoría falla cuando empiezan a aparecer infinitos. El amor puede ser infinito, pero las magnitudes físicas no pueden serlo.

De hecho, la mecánica cuántica comenzó precisamente por un problema de infinitos: el problema del «cuerpo negro» decía, según la física tradicional, que debería emitir una cantidad de energía infinita. Como eso no era posible, se planteó que esas cantidades infinitas no lo eran, sino que la emisión de energía del cuerpo negro era «a golpes» o «en trozos», o, como se definió, «en cuantos», donde «un cuanto» era una unidad de energía objetiva física y concreta. Eso llevó a entender que las magnitudes físicas a escala atómica se gestionan por «cuantos» de energía, y de ahí nació la física cuántica.

George Cantor.

Para gestionar y operar con infinitos debemos hablar de Georg Cantor por supuesto, matemático del siglo XIX y principios del XX, que domó el concepto de infinito como nadie antes lo había hecho. Por ejemplo, demostró que un infinito puede ser, y de hecho es, más grande que otro.

Un ejemplo es el conjunto de números naturales versus enteros. Por muchas vueltas que le demos, el conjunto de números enteros siempre será mayor que el de los naturales, al tener los números negativos (y el cero, si usted pertenece a la escuela que considera al cero como entero, algunos todavía se resisten a aceptar esto). La vida de Cantor es interesante, y sus propuestas revolucionarias, que fueron rechazadas en su mayor parte en aquella época. Pero sus ideas funcionan.

Eso sí: trabajar tanto con infinitos le llevó a derivar ideas sobre Dios. Esto no significa que sea algo negativo por supuesto, pero sí es indicativo que trabajar con un concepto tan complejo lleva en última instancia a buscar soluciones que se apartan del método científico. Si Dios es la solución final para resolver infinitos es algo que queda fuera del alcance de este artículo. Yo no soy creyente, pero respetaré ideas que busquen soluciones, incluso en el campo de la metafísica si es preciso.

Eso sí; por muchas vueltas que le demos, un infinito sigue siendo infinito. Hablar de infinitos más grandes que otros es una medida relacionada con la teoría de conjuntos, aunque estos sean infinitos. Al final, el infinito es ilimitado, sea cual sea su naturaleza.

Universos infinitos.

Vamos con una pregunta típica: ¿es el universo infinito? Hay una teoría por ahí que dice que existen infinitos universos. Pero los estados cuánticos de un universo son finitos, porque el mismo universo solo puede tener una combinación de estados cuánticos por unidad de tiempo. Por lo tanto, si existen infinitos universos, cada uno con un estado cuántico distinto, resultará que existen infinitos universos con estados cuánticos exactamente iguales al nuestro. Piénselo: por muchos estados cuánticos que tenga este universo, infinitos universos con infinitos estados cuánticos implica que algunos de esos universos son iguales al nuestro.

Es decir, que yo estoy escribiendo esto infinitas veces, y usted está deseando que este texto acabe de una vez para irse a tomar una aspirina infinitas veces.

El infinito, por lo tanto, no es algo puramente matemático, o físico. Es un concepto que trasciende al universo. De ahí que el ser humano haya inventado dioses. Se crearon por la necesidad de explicar conceptos como el infinito. Eso es lo que le pasó a Cantor; hablar de Dios y hablar de infinito es de hecho un equivalente para los creyentes. Pero el infinito puede tratarse en ecuaciones, algo que no puede hacerse con Dios.

Divisiones por cero.

Hace un tiempo hablé de por qué no era posible dividir por cero. Si podemos dividir por 1, por 0,5, por 0,000000000001, ¿por qué no por cero? La razón estriba en que el valor resultante es indeterminado. No da “infinito” como algunas veces se dice. Por ejemplo, algunas veces se dice “1 partido por cero es infinito”, entendiendo que un valor por cero se divide infinitas veces. Es tentador pensar eso.

Pero, entonces viene la pregunta: ¿es dos partido por cero también infinito? ¿Tres partido por cero? ¿Cómo es posible que cualquier número partido por cero dé siempre el mismo resultado? Porque no da un resultado. No da “infinito”. Es una incongruencia, y si lo intenta verá la letra «E» de Error en su calculadora. En conclusión: la idea de infinito es tentadora para explicar conceptos matemáticos, físicos, o metafísicos; pero estaremos cayendo en una trampa en muchas ocasiones. El infinito es una entidad, y no puede usarse cuando no existe solución aparente.

El tema del infinito da para mucho más. “Te amo hasta el infinito” suelen decir los románticos a sus parejas. Sin duda ese amor es enorme, pero, ¿cómo de enorme? Desde un punto de vista emocional la frase es perfectamente válida. Desde un punto de vista físico, es evidente que quien pronuncia esa frase está exagerando ligeramente. Es normal, se trata de amor y se comprende. Pero un amor infinito, o cualquier concepto infinito que existiese en el mundo real, le podría llevar a paradojas bastante curiosas. Y absurdas.

Hoteles infinitos.

Un ejemplo clásico de cómo podemos meternos en paradojas absurdas con los infinitos es el hotel de las infinitas habitaciones. Un turista llega a un hotel. Pide una habitación. Pero el recepcionista le dice: “lo siento; todas las habitaciones están ocupadas”. Y es verdad. Todas lo están. Entonces el turista dice: “pero este es el hotel de las infinitas habitaciones, ¿no es así?”. El recepcionista confirma la sospecha del turista. Entonces el turista dice:

“Haga una cosa: ponga al huésped de la habitación 1 en la habitación 2. El de la habitación 2 páselo a la 3. El de la 3, al de la 4. Y así hasta infinito”. El recepcionista hace lo que sugiere el turista, y por lo tanto el turista puede ocupar la habitación número 1 en un hotel que previamente estaba lleno.

¿Qué ha pasado? Dos cosas. Una es obvia: no existen los hoteles infinitos. Creo que eso queda claro. El segundo problema es más escurridizo: ¿cuánto tiempo le lleva al conserje avisar a los huéspedes de que debe cambiar la habitación por la n+1, siendo n la habitación en la que está? Efectivamente. No toda la vida, sino infinito tiempo. De hecho, el universo se enfriará y será una masa de partículas flotantes antes de que el pobre conserje termine de avisar a los huéspedes. Y ni siquiera se habrá acercado al infinito.

¿Recuerda el problema de la cifra enorme? El recepcionista del hotel puede llamar a miles de millones de huéspedes. Nunca comenzará ni a acercarse al infinito. No importa cuántos huéspedes pasen a la siguiente habitación. El ciclo nunca se completará. Y lo que es peor; siempre estará a la misma distancia y tiempo de ser terminado.

Resumen: gracias por su infinita paciencia.

Efectivamente, esa es otra expresión habitual. De nuevo fue Einstein el que dijo:

«Solo hay dos constantes en el universo: el infinito y la estupidez humana, y del primero no estoy tan seguro».

El viejo sabio tenía claro que el concepto de infinito es válido en matemáticas, pero él, como gran físico, no podía sino tratar de buscar salidas a esa idea de infinitud que acompaña al ser humano desde sus orígenes. Si su mente, absolutamente brillante, estaba completamente colapsada por ese concepto de algo sin fin, el común de los mortales tiene por seguro un largo camino que recorrer para asimilar la idea de infinito.

¿Y si el universo finalmente colapsara, y se cumpliese la idea de la religión budista, según la cual el universo se regenera infinitas veces? Estaríamos de nuevo ante una paradoja. Si eso es así, ¿cuándo hubo una primera vez? ¿Nunca? ¿Cómo puede algo infinito contener un ente finito y limitado? ¿Es la creación del ser humano un hecho que se remonta atrás infinitas veces en el tiempo, y lo hará hasta el infinito en el futuro?

Preguntas sin respuesta. ¿Las encontraremos alguna vez? Partiendo de la base de que somos limitados, hablar de comprender el infinito se torna complicado. Si somos religiosos podemos acudir a Dios, pero, ¿cómo puede un ser infinito explicar el universo infinito a un ser finito? Creo que por eso Dios no habla con nosotros del infinito; no quiere meterse en ese compromiso.

Hasta el infinito y más allá. ¿Existe algo más allá del infinito? Esa sería una pregunta para hacerle a Dios sin duda, si existiese. Si la respuesta fuese positiva, hasta Dios, ser infinito, tendría límites. ¿Cómo puede un ser infinito tener límites? Eso lo dejaremos para otro análisis.

De momento, voy a ponerme una peli de Star Trek. Ya basta de hablar de infinitos; ahora quiero experimentarlos. Aunque sea con la mente. Lo cual es mucho, sin ningún género de dudas. Muchas gracias.

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